Question

【题目】已知是的平分线，点是射线上一点，点C、D分别在射线、上，连接PC、PD．

（1）发现问题

如图①，当，时，则PC与PD的数量关系是________．

（2）探究问题

如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）PC=PD；（2）PC=PD仍然成立．理由见解析．

【解析】

（1）根据角平分线的性质可得出PC=PD；

（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质得PE=PF，然后根据同角的补角相等得出∠FCP=∠PDE，即可由AAS证明△CFP≌△DEP，从而得证．

解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD，

故答案为：PC=PD；

（2）PC=PD仍然成立．理由如下：
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．

∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°，

∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE，

在△CFP和△DEP中，

，

∴△CFP≌△DEP（AAS），
∴PC=PD．