Question

【题目】如图，□ABCD中，对角线AC与AB、AD的夹角分别为α、β，点E是AC上任意一点，给出如下结论：①AB sinα=AD sinβ；②S△ABE=S△ADE；③ADsinα=AB sinβ． 其中正确的个数有（　　）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：

如下图，（1）过点D作DN⊥AC于点N，过点B作BM⊥AC于点M，由此可得DN=AD·sinβ，BM=AB·sinα，由已知条件易证△ABC≌△CDA，从而可得S△ABC=ACAB·sinα=ACAD·sinβ，由此可得AB· sinα=AD· sinβ，即结论①成立；（2）由S△ABE=AEABsinα，S△ADE=AEAdsinβ结合（1）中所得AB·sinα=AD·sinβ即可得到S△ABE=S△ADE，故结论②成立；（3）由已知条件易证△ADN≌△CBM，由此可得DN=BM，即AD·sinβ=AB·sinα，AD·sinα=AB·，由此可知只有当=时，才有ADsinα=ABsinβ成立，故结论③不一定成立；

详解：

由题意，可知∠CAB=α，∠DAC=β，如下图，过点D作DN⊥AC于点N，过点B作BM⊥AC于点M，

∴DN=AD·sinβ，BM=AB·sinα，

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD．

在△ABC与△CDA中， ，

∴△ABC≌△CDA，

∴S△ABC=S△CDA，

∵S△ABC=ACABsinα，S△CDA=ACADsinβ，

∴AB·sinα=AD·sinβ，①正确；

（2）∵S△ABE=AEABsinα，S△ADE=AEADsinβ，且AB·sinα=AD·sinβ，

∴S△ABE=S△ADE，②正确；

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAN=∠BCM，

又∵∠DNA=∠BMC=90°，

∴△ADN≌△CBM，

∴DN=BM，

∴AD·sinβ=AB·sinα，

∴AD·sinα=AB·，

由此可知只有当=时，才有ADsinα=AB sinβ成立，故结论③不一定成立；

综上所述，3个结论中，只有①②成立.

故选C．