Question

【题目】（模型建立）（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．

（模型应用）（2）①已知直线l1：y＝x+3与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转45o至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；

②如图3，长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A、C分别在坐标轴上，点P是线段BC上的动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D在直线y＝﹣2x+5上时，直接写出点D的坐标，并写出整个运动过程中点D的纵坐标n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①y＝﹣5x﹣10；②D（3，﹣1）或，﹣10≤n≤﹣7或﹣2≤n≤1．

【解析】

（1）根据△ABC为等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；
（2）①过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，根据△CBD≌△BAO，得出BD=AO=2，CD=OB=3，求得C（-3，5），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；
②根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y=-2x+5上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，-2x+5），分别根据△ADE≌△DPF，得出AE=DF，据此列出方程进行求解即可．分两种情形求出n的范围即可；

解：（1）证明：如图1，∵△ABC为等腰直角三角形，

∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝90°，

又∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，

∴∠ACD＝∠EBC，

在△ACD与△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，

∵∠BAC＝45°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

由（1）可知：△CBD≌△BAO，

∴BD＝AO，CD＝OB，

∵直线l1：y＝x+3中，若y＝0，则x＝﹣2；若x＝0，则y＝3，

∴A（﹣2，0），B（0，3），

∴BD＝AO＝2，CD＝OB＝3，

∴OD＝2+3＝5，

∴C（﹣3，5），

设l2的解析式为y＝kx+b，则

，
解得 ，

∴l2的解析式：y＝﹣5x﹣10；

②当点D是直线y＝﹣2x+5上的动点且在第四象限时，分两种情况：

当点D在矩形AOCB的内部时，如图中，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，

设D（x，﹣2x+5），则OE＝2x﹣5，AE＝6﹣（2x﹣5）＝11﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，

由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，

即：11﹣2x＝8﹣x，

解得x＝3，

∴﹣2x+5＝﹣1，

∴D（3，﹣1），

此时，PF＝ED＝3，CP＝4＜CB，符合题意；

当点D在矩形AOCB的外部时，如图中，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，

设D（x，﹣2x+5），则OE＝2x﹣5，AE＝OE﹣OA＝2x﹣5﹣6＝2x﹣11，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，

同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，

即：2x﹣11＝8﹣x，

解得x=，
∴-2x+5=-，
∴D（ ，-），
此时，ED=PF=，PB＜6，符合题意．
故满足条件的点D（3，-1）或（），
①当点D在AP下方时，点P与B重合时，D（4，﹣10）；点P与C重合时，D（7，﹣7），

∴﹣10≤n≤﹣7．

②当点D在AP上方时，点P与B重合时，D（4，﹣2）；点P与C重合时，D（1，1），

∴﹣2≤n≤1．

综上所述，﹣10≤n≤﹣7或﹣2≤n≤1．