Question

【题目】如图，四边形是正方形，点是的中点，，交正方形外角的平分线于，连接、、，求证：

；

；

是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）取AB中点M，连接ME，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质，证明△AME△ECF，即可得出结论；

（2）利用（1）图，△AEF是等腰直角三角形，继而得到∠2=∠4、∠ACF=∠B，即可证得结论；

（3）过F分别作FN⊥BC的延长线于N，证得△FNE△EBA，得出△FCN是等腰直角三角形，易证四边形FNCP为矩形（正方形），求得∠FDC=∠DCF，得出结论.

如图，

取中点，连接，

则正方形边长，

∴在中，，

∴，，

∵，

∴

∴，

∵是正方形外角的平分线，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴；

如图，∵，，

∴是等腰直角三角形，

∴，即，

∵为正方形的对角线，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

∴；

如图，

设正方形边长为，则，，

∵是等腰直角三角形，

∴，

过作的延长线于，

则，

又由知，，，

在和中，

，

∴，

∴，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴四边形为矩形（正方形），

∴，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形．