Question

【题目】公司投资750万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并再投入资金1750万元进行相关生产设备的改进．已知生产过程中，每件产品的成本为60元．在销售过程中发现，当销售单价定为120元时，年销售量为24万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元）（x＞120），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额﹣生产成本）为z（万元）．
（1）求出y与x之间，z与x之间的函数关系式；
（2）该公司能否在第一年收回投资．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，

y=24﹣ ，即y= x+36，

z=（x﹣60）（ x+36）= +42x﹣2160；

（2）解：z= +42x﹣2160= +2250，

当x=210时，第一年的年最大利润为2250万元，

∵2250＜750+1750，

∴公司不能在第一年收回投资．

【解析】（1）根据年销量=原销量-因价格上涨减少的销量，年获利=单件利润年销售量，分别列出函数关系式即可；
（2）将z= x 2 +42x﹣2160变形成顶点式Z= ( x 210 ) 2 +2250，知当x=210时，第一年的年最大利润为2250万元，从而可知最大利润值小于总投资，从而得出结论。
【考点精析】掌握二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．