Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，
DE与AB相交于点E．
（1）求证：ABAF=CBCD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=x cm，梯形BCDP的面积为y ．
①求y关于x的函数关系式．
②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD=CD，DE⊥AC，

∴DE垂直平分AC，

∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF．

∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，

∴∠DCF=∠DAF=∠B．

在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，

∴△DCF∽△ABC．

∴ ，即 ，

∴ABAF=CBCD；

（2）解：连接PB，

①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，

∴AC= =12，

∴CF=AF=6．

∴y= （x+9）×6=3x+27；

②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．

AE=BE= AB= ，EF= ．

由∠EAD=∠AFE=90°，∠AEF=∠DEA，得△AEF∽△DEA．

Rt△ADF中，AD=CD= =10，AF=6，

∴DF=8．

∴DE=DF+FE=8+ = ．

∵y=3x+27（0≤x≤ ），函数值y随着x的增大而增大，

∴当x= 时，y有最大值，此时y= ．

【解析】（1）首先判断出DE垂直平分AC，然后根据中垂线的性质及等边对等角得出AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF，然后根据同角的余角相等得出∠DCF=∠DAF=∠B，进而判断出△DCF∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出结论；
（2）连接PB，①根据勾股定理算出AC,进而得出CF=AF=6，然后根据梯形的面积公式得出y关于x的函数关系式；②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．由相似三角形对应边成比例得出AE,BE,EF的长，然后再判断出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出DF的长，进而得出DE=DF+FE，最后根据一次函数的性质得出结论。
【考点精析】认真审题，首先需要了解线段垂直平分线的判定(和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，还要掌握线段垂直平分线的性质(垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等)的相关知识才是答题的关键．