Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，BC＝5，连接BD，∠BAD的平分线分别交BD、BC于点E、F，且AE∥CD

(1) 求AD的长；

(2) 若∠C＝30°，求CD的长.

Answer 1

【答案】(1) 2；(2)

【解析】(1)根据等角对等边即可证得BF=AB,然后根据FC=BC-BF即可求解;(2)过B作AF的垂线BG,垂足为H. 由(1)得：四边形AFCD为平行四边形且AB=BF=3,在RT△BHF中求得BH的长,利用勾股定理即可求解.
(1)AD∥BC,AE∥CD,

∴四边形AFCD是平行四边形

∴AD=CF

∵AF平分∠BAD

∴∠BAF=∠DAF

∵AD∥BC

∴∠DAF=∠AFB

∴∠BAF=∠AFB

∴AB=BF

∵AB=3，BC=5

∴BF=3

∴FC=5-3=2

∴AD=2.

(2)如图，

过点B作BH⊥AF交AF于H

由(1)得：四边形AFCD为平行四边形且AB=BF=3，

∴AF=CD，AF∥CD

∴FH=AH，∠AFB=∠C

∵∠C=30°

∴∠HFB=30°

∴BF=2BH

∵BF=3

∴BH=

∴FH=,

∴AF=2×=3

∴CD=3.