Question

【题目】已知：在正方形ABCD中，AB＝6，P为边CD上一点，过P点作PE⊥BD于点E，连接BP.

（1）O为BP的中点，连接CO并延长交BD于点F

①如图1，连接OE，求证：OE⊥OC；

②如图2，若，求DP的长；

（2）＝___________

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②DP=4；（2）

【解析】

(1) ①首先得出∠POE＝2∠DBP，∠POC＝2∠CBP，从而得到∠COE＝∠POE＋∠POC＝2（∠DBP＋∠CBP）＝90°，即可得到结论;②连接OE、CE，把△DEC绕点C逆时针旋转90°得到△BGC，连结FG，则△BGC≌△DEC，得到EC=GC，DE=BG，∠GCB=∠ECD，∠GBC=∠EDC=45°，进而得到∠GCF=∠ECF．再证△GCF≌△ECF，得到EF=FG，在Rt△FBG中，有BF+BG=FG，即BF+DE=EF，由已知，设BF＝3x，EF＝5x，则DE＝4x，得到3x＋4x＋5x＝6，解得x的值，进而得到结论．；（2）由正方形的性质和PE⊥BD得到DP=EP，即EP=DP，代入原式即可得到结论.

(1) ① ∵∠PEB＝∠PCB＝90°，O为BP的中点

∴OE＝OB＝OP＝OC

∴∠POE＝2∠DBP，∠POC＝2∠CBP

∴∠COE＝∠POE＋∠POC＝2(∠DBP＋∠CBP)＝90°

∴OE⊥OC

② 连接OE、CE

∵△COE为等腰直角三角形

∴∠ECF＝45°

在等腰Rt△BCD中，BF2＋DE2＝EF2

设BF＝3x，EF＝5x，则DE＝4x

∴3x＋4x＋5x＝，解得x＝

∴DP＝DE＝

(2) ∵

∴.