Question

【题目】如图①，平面直角坐标系XOY中，若A（0，a）、B（b，0）且（a﹣4）2+=0，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB=90°，AB=AC．

（1）求C点坐标；

（2）如图②过C点作CD⊥X轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；

（3）如图③在（1）中，点A在Y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交Y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请直接写出它们的比值　 　（不需要解答过程或说明理由）．

Answer 1

【答案】（1）C点坐标为（4，5）；（2）∠ADC=45°；（3）2．

【解析】试题分析：（1）作CM⊥OA于M，由非负性质求出a=4，b=1，由AAS证明△CAM≌△ABO，得出MC=OA=4，MA=OB=1，求出OM=OA+MA=5，即可得出C点坐标；

（2）证出OD=OA，得出△OAD为等腰直角三角形，得出∠ADO=45°，求出∠ADC=45°即可；

（3）先判断出△AEF≌△MCF，进而求出AM，最后用三角形的面积公式即可得出结论；

试题解析：（1）作CM⊥OA于M，如图①所示：

则∠CMA=∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠ABO=90°，

∵（a﹣4）2+=0，

∴a﹣4=0，b﹣1=0，

∴a=4，b=1，

∴OA=4，OB=1，

∵∠CAB=90°，

∴∠OAB+∠CAM=90°，

∴∠CAM=∠ABO，

在△CAM和△ABO中，

，

∴△CAM≌△ABO（AAS），

∴MC=OA=4，MA=OB=1，

∴OM=OA+MA=5，

∴C点坐标为（4，5）；

（2）∵CD⊥x轴，∴D（4，0），

∴OD=OA，

∴△OAD为等腰直角三角形，

∴∠ADO=45°，

∴∠ADC=90°﹣45°=45°；

（3）A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化，S△AOB：S△AEF=2；

理由如下：作CM⊥OA于M，如图③所示：

由（1）知，A（0，4），C（4，5），

∴OA=CM=4，

∵△AEO是等腰直角三角形，

∴AE=OA=4，∠OAE=90°，

∴∠EAF=∠OAE=90°=∠CMF，

∵∠AFE=∠MFC，AE=CM，

∴△AEF≌△MCF，

∴AF=MF=AM，

∵C（4，5），A（0，4），

∴AM=1，

∴MF=，

∴S△AEF=S△MCF=MF×CM=××4=1，

S△AOB=OA×OB=×4×1=2，

∴S△AOB：S△AEF=2：1=2，

即S△AOB：S△AEF的值是定值，不会发生变化.