Question

【题目】如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线.

(1) 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；

（2）若∠C ＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）5°；（2）∠ DAE =(∠C-∠B). 证明见解析。

【解析】

（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=70°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=∠CAB=35°，∠AEC=90°，则∠CAE=90°-∠C=30°，然后利用∠DAE=∠CAD-∠CAE计算即可．

（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C-∠B的关系．

(1)在△ABC中,∵∠B=50°,∠C=60°,

∴∠BAC=180°-50°-60°=70°.

∵AD是∠BAC的角平分线,

∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=35°.

又∵AE是BC上的高,

∴∠AEC=90°.

在△CAE中,∠CAE=90°-∠C=90°-60°=30°,

∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°.

（2）∠ DAE =(∠C-∠B).

证明如下：

∵AE是△ABC的高，

∴∠AEC=90°，

∴∠EAC=90°-∠C，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAC=∠BAC.

∵∠BAC=180°-∠B-∠C，

∴∠DAC=(180°-∠B-∠C) ，

∴∠DAE=∠DAC-∠EAC

=(180°-∠B-∠C) - (90°-∠C)

=(∠C-∠B)