Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．

（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠ACD，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠ACD，

∴∠B=∠EAC，

∵AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∵CE⊥AE，

∴∠ADC=∠CEA=90°

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）

（2）证明：AB=DE，AB∥DE，如右图所示，

∵AD⊥BC，AE∥BC，

∴AD⊥AE，

又∵CE⊥AE，

∴四边形ADCE是矩形，

∴AC=DE，

∵AB=AC，

∴AB=DE．

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵四边形ADCE是矩形，

∴AE∥CD，AE=DC，

∴AE∥BD，AE=BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB∥DE且AB=DE．

【解析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE；（2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．