Question

【题目】如图1，已知正方形的顶点分别在轴和轴上，边交轴的正半轴于点．

（1）若，且，求点的坐标；

（2）在（l）的条件下，若，求点的坐标；

（3）如图2，连结交轴于点，点是点上方轴上一动点，以、为边作，使点恰好落在边上，试探讨，与的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），见解析

【解析】

（1）根据a值和点A的坐标可求得结果；

（2）作于，再作于，连，证明，得到，再根据得到，EN=1，设，最后利用勾股定理求出m值即可；

（3）过F作FM⊥AB于M，FN⊥AD于N，证明Rt△BFM≌Rt△GFN，得到BF=GF，再证明△BAF≌△DAF，得到BF=DF，再通过勾股定理以及等量代换得到，与的数量关系.

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴，

即点的坐标为；

（2）解：作于，再作于，连，

则，

∴，

在与中，，

∴，

∴，

∵，

∴，EN=1，

在中，，

在中，，

设，

∴，

∴，

∴；

（3）∵平行四边形AFGH，

∴GH=AF，GF∥OA，即GF⊥BF，

过F作FM⊥AB于M，FN⊥AD于N，

∵AF平分∠BAD，

∴FM=FN，

又∵∠BAG=∠BFG=90°，

∴∠ABF+∠AGF=180°，

又∵∠DGF+∠AGF=180°，

∴∠MBF=∠NGF，

∴Rt△BFM≌Rt△GFN，

∴BF=GF，

又∵∠BAF=∠DAF=45°，AB=AD，AF=AF，

∴△BAF≌△DAF，

∴BF=DF，

∴GF=DF，

又∵FN⊥DG，

∴DN2=（DG）2，

∴DN2=DG2，

在Rt△AFN中，∠FAN=45°，

∴AN=FN，

∴AF2=AN2+FN2=2FN2，

∴FN2=AF2，

在Rt△DFN中，DF2=DN2+FN2，

∴BF2=DG2+AF2，

∴4BF2=DG2+2AF2，

又∵AF=HG，

∴4BF2=DG2+2HG2.