Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F，且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D．

（1）求证：∠EAC=∠CAB；

（2）若CD=4，AD=8，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为5．

【解析】试题分析：（1）首先连接OC，由CD是 O的切线，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得∠EAC=∠CAB；

（2）连接BC，易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，继而可得⊙O的半径长.

（1）证明：连接OC．

∵CD是⊙O的切线，

∴CD⊥OC，

又∵CD⊥AE，

∴OC∥AE，

∴∠1=∠3，

∵OC=OA，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

即∠EAC=∠CAB；

（2）解：连接BC．

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵∠1=∠2，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∵AC2=AD2+CD2=42+82=80，

∴AB==10，

∴⊙O的半径为10÷2=5．