Question

【题目】如图，点是直角三角形斜边上一动点（不与点，重合），作直线，分别过点，向直线作垂线，垂足分别为，，为斜边的中点.

（1）如图1，当点与点重合时，与的位置关系是______，与的数量关系是______；

（2）如图2，当点在线段上（不与点重合）时，试猜想与的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点在线段的延长线上时，此时（2）中的结论是否仍成立？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF，（2）QE=QF，证明见解析；（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，证明见解析.

【解析】

（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ即可得出答案；

（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；

（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可

（1）如图1，

当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，

理由：

∵Q为AB的中点，

∴AQ=BQ，

∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，

∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，

在△AEQ和△BFQ中

∴△AEQ≌△BFQ（AAS），

∴QE=QF，

（2）

QE=QF，

证明：如图2，延长EQ交BF于D，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ=∠BDQ，

在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ（AAS），

∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°，

∴QE=QF；

（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，

证明：延长EQ交FB于D，如图3，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ=∠BDQ，

在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ（AAS），

∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°，

∴QE=QF．