Question

【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G.F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG.

(1)求证：BG=CF；

(2)求证：CF=2DE；

(3)若DE=1，求AD的长

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）利用“ASA”判断△BCG≌△CFA，从而得到BG=CF；

（2）连结AG，利用等腰直角三角形的性质得CG垂直平分AB，则BG=AG，再证明∠D=∠GAD得到AG=DG，所以BG=DG，接着证明△ADE≌△CGE得到DE=GE，则BG=2DE，利用利用△BCG≌△CFA得到CF=BG，于是有CF=2DE；

（3）先得到BG=2，GE=1，则BE=3，设CE=x，则BC=AC=2CE=2x，在Rt△BCE中利用勾股定理得到x +（2x）=3，解得x= ，所以BC=，AB= BC=,然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算AD的长．

(1)证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴∠CAF=∠ACG=45°，

∵CG平分∠ACB，

∴∠BCG=45°，

在△BCG和△CFA中

，

∴△BCG≌△CFA，

∴BG=CF；

(2)证明：连结AG，

∵CG为等腰直角三角形ACB的顶角的平分线，

∴CG垂直平分AB，

∴BG=AG，

∴∠GBA=∠GAB，

∵AD⊥AB，

∴∠D+∠DBA=90°,∠GAD+∠GAB=90°，

∴∠D=∠GAD，

∴AG=DG，

∴BG=DG，

∵CG⊥AB，DA⊥AB，

∴CG∥AD，

∴∠DAE=∠GCE,

∵E为AC边的中点，

∴AE=CE，

在△ADE和△CGE中

，

∴△ADE≌△CGE，

∴DE=GE，

∴DG=2DE，

∴BG=2DE，

∵△BCG≌△CFA，

∴CF=BG，

∴CF=2DE；

(3)∵DE=1，

∴BG=2，GE=1，即BE=3，

设CE=x，则BC=AC=2CE=2x，

在Rt△BCE中,x+(2x) =3,解得x=，

∴BC=，

∴AB= BC=，

在Rt△ABD中,∵BD=4,AB= ，

∴AD=.