Question

【题目】如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．

（1）如图②，当BC=4，DE=5，tan∠FMN=1时，求的值；

（2）若tan∠FMN=，BC=4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；

（3）连接CM，DN，CF，DF．试证明△FMC与△DNF全等；

（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．

Answer 1

【答案】（1）；（2）可求线段AD的长；（3）证明见解析；（4）△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．

【解析】（1）根据四边形ANFM是平行四边形，AB⊥AE，即可得到四边形ANFM是矩形，再根据FN=FM，即可得出矩形ANFM是正方形，AB=AE，结合∠1=∠3，∠C=∠D=90°，即可得到△ABC≌△EAD，进而得到BC=AD，CA=DE，即可得出；

（2）依据四边形MANF为矩形，MF=AE，NF=AB，tan∠FMN=，即可得到=，依据△ABC∽△EAD，即可得到==，即可得到AD的长；

（3）根据△ABC和△ADE都是直角三角形，M，N分别是AB，AE的中点，即可得到BM=CM，NA=ND，进而得出∠4=2∠1，∠5=2∠3，根据∠4=∠5，即可得到∠FMC=∠FND，再根据FM=DN，CM=NF，可得△FMC≌△DNF；

（4）由BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，即可得到：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．

（1）∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，

∴MF，NF都是△ABE的中位线，

∴MF=AE=AN，NF=AB=AM，

∴四边形ANFM是平行四边形，

又∵AB⊥AE，

∴四边形ANFM是矩形，

又∵tan∠FMN=1，

∴FN=FM，

∴矩形ANFM是正方形，AB=AE，

又∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵∠C=∠D=90°，

∴△ABC≌△EAD（AAS），

∴BC=AD=4，CA=DE=5，

∴=；

（2）可求线段AD的长．

由（1）可得，四边形MANF为矩形，MF=AE，NF=AB，

∵tan∠FMN=，即=，

∴=，

∵∠1=∠3，∠C=∠D=90°，

∴△ABC∽△EAD，

∴==，

∵BC=4，

∴AD=8；

（3）∵BC⊥CD，DE⊥CD，

∴△ABC和△ADE都是直角三角形，

∵M，N分别是AB，AE的中点，

∴BM=CM，NA=ND，

∴∠4=2∠1，∠5=2∠3，

∵∠1=∠3，

∴∠4=∠5，

∵∠FMC=90°+∠4，∠FND=90°+∠5，

∴∠FMC=∠FND，

∵FM=DN，CM=NF，

∴△FMC≌△DNF（SAS）；

（4）在（3）的条件下，BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，

∴图中有：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．