Question

【题目】如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得四边形A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的？

Answer 1

【答案】依次将正方形四个角剪去直角边长分别为和的直角三角形即可．

【解析】

本题中易证四个小直角三角形全等，那么可设一边为x，那么另一边就是（1x），可用勾股定理求出里面的正方形的边长的平方也就是正方形A1B1C1D1的面积，然后根据正方形A1B1C1D1的面积为原来正方形面积的，来列方程求解．

解：∵四边形A1B1C1D1是正方形，

∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1.

∵∠AA1D1＋∠AD1A1＝90°，∠AA1D1＋∠BA1B1＝90°，

∴∠AD1A1＝∠BA1B1.

同理可得∠AD1A1＝∠BA1B1＝∠DC1D1＝∠CB1C1.

又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∴△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1，

∴AA1＝DD1.

设AD1＝x，那么AA1＝DD1＝1－x.

在Rt△AA1D1中，根据勾股定理可得A1D12＝x2＋(1－x)2，

∴正方形A1B1C1D1的面积＝A1D12＝x2＋(1－x)2＝×1×1，

解得x1＝，x2＝，

答：依次将正方形四个角剪去直角边长分别为和的直角三角形即可．