Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题: 如图1，在矩形中，对角线、相交于点，且，点、、分别是、、的中点，连接所、、．

求证：是等边三角形．

小明经探究发现，连接、(如图2)，从而可证， ，使问题得到解决．

（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；

参考小明思考问题的方法或用其他的方法，解决下面的问题：

（2）如图3，在四边形中， ， ， 对角线、相交于点，且()，点、、分别是、、的中点，连接、、．

①否存在与相等的线段?若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由．

②求的度数．(用含的式子表示)

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，证明见解析；②．

【解析】

（1）如图，连接、，由已知条件可证明是等边三角形，进而证明是直角三角形，根据为AD的中点，证明，再由三角形中位线定理，即可证明结论；

（2）①如图，，类比（1）即可证明结论；

②如图，.根据①结论得到，再得到，进而证明，，最后求出，问题得解．

（1）证明：如图，连接、，

∵四边形为炬形，

∴，.

∵，

∴是等边三角形.

∵点是的中点，

∴.

∴是直角三角形.

∵是的中点，

∴.

∵点、分别是、的中点，

∴.

∴，

∴是等边三角形.

（2）①.

证明:如图，连接、，

∵， ，

∴是等腰三角形

∵点是的中点，

∴.

∴是直角三角形、

∵是的中点，

∴.

同理可得.

∴.

②解:∵，，

∴，

.

∵，

∴同理可得.

∴.

由①可知，， ，

∴，

.

∴.

.

∴

.

∴

.