Question

【题目】已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 .

Answer 1

【答案】
【解析】解：过点C作CH⊥AE于H，如图，

∵AB=AC=8，
∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°，
∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，
∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，
∴∠E=75°﹣30°=45°，
在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，
∴CH=AC=4，AH=CH=4，
∴DH=AD﹣AH=8﹣4，
在Rt△CEH中，∵∠E=45°，
∴EH=CH=4，
∴DE=EH﹣DH=4﹣（8﹣4）=4﹣4．
故答案为4﹣4．
作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=（180°﹣∠BAC）=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=AC=4，AH=CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH﹣DH=．