Question

【题目】已知，，分别在直线上，是平面内一点，和的平分线所在直线相交于点.

（1）如图1，当都在直线之间，且时，的度数为_________；

（2）如图2，当都在直线上方时，探究和之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当在直线两侧时，直接写出和之间的数量关系是_____.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）过E作EH∥AB，FG∥AB，根据平行线的性质得到∠BME=∠MEH，∠DNE=∠NEH，根据角平分线的定义得到∠BMF+∠DNF=（∠BME+∠DNE）=45°，于是得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=∠EGB-∠EMB，根据平行线的性质得到∠EGB=∠END，∠FHB=∠FND，根据角平分线的定义得到∠EMB=2∠FMB，∠END=2∠FND，于是得到结论；（3）根据平行线的性质得到∠5=∠END，根据角平分线的定义得到∠5=∠END=2∠4，∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．

解：（1）过E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，

∵AB∥CD，
∴EH∥CD，FG∥CD，
∴∠BME=∠MEH，∠DNE=∠NEH，
∴∠BME+∠DNE=∠MEH+∠NEH=∠MEN=90°，
同理∠MFN=∠BMF+∠DNF，
∵MF平分∠BME，FN平分∠DNE，
∴∠BMF+∠DNF=（∠BME+∠DNE）=45°，
∴∠MFN的度数为45°；
故答案为：45°；
（2）∵∠EGB=∠EMB+∠E，
∴∠E=∠EGB-∠EMB，
∵AB∥CD，
∴∠EGB=∠END，∠FHB=∠FND，
∴∠E=∠END-∠EMB，
∵MF、NF分别平分∠BME和∠DNE，
∴∠EMB=2∠FMB，∠END=2∠FND，
∴∠E=2∠FND-2∠FMB=2（∠FND-∠FMB），
∵∠FHB=∠FMB+∠F，
∴∠F=∠FHB-∠FMB，
=∠FND-∠FMB，
∴∠E=2∠F；
（3）∠E+∠MFN=180°，

证明：∵AB∥CD，
∴∠5=∠END，
∵NF平分∠END，
∴∠5=∠END=2∠4，
∵MF平分∠BME，
∴∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4，
∴∠3=∠1=∠E+∠4，
∵∠E+∠MFN=360°-∠4-∠2-∠3=360°-∠4-（180°-∠E-2∠4）-（∠E+∠4）=180°+∠E，
∴∠MFN+∠E=180°．
故答案为：∠E+∠MFN=180°．