Question

【题目】（本小题满分9分）已知点D是边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CD作垂线，垂足分别为E，F，O为边AB的中点.

（1）如图1，当点D与点O重合时，AE与BF的位置关系是____________，OE与OF的数量关系是__________；

（2）如图2，当点D在线段AB上不与点O重合时，试判断OE与OF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点D在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路． （备注：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）AE∥BF，OE=OF．

如图，

当点D与点O重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，OE与OF的数量关系是OE=OF．

理由是：∵O为AB的中点，

∴AO=BO，

∵AE⊥CD，BF⊥CO，

∴AE∥BF，∠AEO=∠BFO=90°，（2分）

在和中

∠AOE=∠BOF，∠AEO=∠BFO，AO=BO，

∴△AEO≌△BFO，

∴OE=OF，

故答案为：AE∥BF，OE=OF（3分）

（2）结论：OE=OF． （4分）

证明：如图，延长EO交BF于G．

∵AE∥BF，

∴∠AEO=∠BGO，

在和中，，

∴△AEO≌△BGO（ASA）.∴OE=OG.

∵BF⊥CD，∴FO是斜边上的中线，

∴OE=OF=OG，

即OE=OF．（6分）

（3）（2）中的结论仍然成立． （7分）

所画图形如图所示，

（8分）

证明思路：延长EO、FB交于G．

由（2）的证明思路可以得到△AOE≌△BOG，由全等得到OE=OG；由BF⊥CD，得到FO是斜边GE上的中线；可得到OE=OF．（9分）