Question

【题目】在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.

(1)如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；

(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；

(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是________________．

Answer 1

【答案】（1）α＋β＝180°，理由见解析；（2）α＝β，理由见解析；（3）α＝β

【解析】

（1）如图①，根据等式的性质就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，由三角形的内角和定理就可以得出结论；

（2）如图②，根据等式的性质就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出结论；

（3）根据条件画出图形③，根据等式的性质就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，由外角与内角的关系就可以得出结论．

解：(1)α＋β＝180°

理由：∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS) ，

∴∠ABD＝∠ACE，

在△ABC中，

∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACE，

∴∠BAC＋∠ACB＋∠ACE＝180°，

∵∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＝β，

∴α＋β＝180°；

(2)α＝β

理由：∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE.

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)．

∴∠ABD＝∠ACE.

∵∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，

∴∠ACD＝∠ABC＋∠BAC＝∠ACE＋∠ECD.

∴∠BAC＝∠ECD.

∴α＝β.

(3)α＝β.

.