Question

【题目】如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE、DF.

（1）试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论.

（2）若DE=13，EF=10，求AD的长.

（3）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

Answer 1

【答案】（1）四边形AEDF是菱形，证明见解析；（2）24；（3）当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；

【解析】（1）由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF；

（2）由（1）知菱形AEDF对角线互相垂直平分，故EO=EF=5，根据勾股定理得DO=12，从而得到AD=24；

（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．

（1）四边形AEDF是菱形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

又∵EF⊥AD，

∴∠AOE=∠AOF=90°

∵在△AEO和△AFO中

∵，

∴△AEO≌△AFO（ASA），

∴EO=FO，

∵EF垂直平分AD，

∴EF、AD相互平分，

∴四边形AEDF是平行四边形

又EF⊥AD，

∴平行四边形AEDF为菱形；

（2）由（1）知，EO=EF=5，AD=2DO,

在Rt△DOE中，∵DE=13，EO=5

∴DO=，

∴AD=2DO=24；

（3）当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；

∵∠BAC=90°，

∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．