Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC边上的一个动点（点D不与B，C重合），以AD为边作等腰直角△ADE，∠DAE=90°，连接CE．

（1）求证：△ABD≌△ACE．

（2）试猜想线段BD，CD，DE之间的等量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）+=

【解析】

（1）根据SAS，只要证明∠1=∠2即可解决问题；

（2）结论：+=．证明∠ECD=90°，BD=CE，利用勾股定理即可解决问题．

（1）∵∠DAE=90°，∴∠DAC+∠2=90°．

又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°，∴∠1=∠2．

在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE．

（2）结论：CD2+BD2=DE2．理由如下：

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠3=45°．

由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠4=∠B=45°，BD=CE，∴∠ECD=∠3+∠4=90°，∴CD2+CE2=DE2，∴CD2+BD2=DE2．