Question

【题目】如图，直线y=﹣ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，若△POA的面积是△POB面积的 倍．
①求点P的坐标；
②点Q为抛物线对称轴上一点，请直接写出QP+QA的最小值；
（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线y=﹣ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（2，0），B（0，1），

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，

∴ ，

∴

∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+1

（2）解：①由（1）知，A（2，0），B（0，1），

∴OA=2，OB=1，

由（1）知，抛物线解析式为y=﹣x2+ x+1，

∵点P是第一象限抛物线上的一点，

∴设P（a，﹣a2+ a+1），（（a＞0，﹣a2+ a+1＞0），

∴S△POA= OA×Py= ×2×（﹣a2+ a+1）=﹣a2+ a+1

S△POB= OB×Px= ×1×a= a

∵△POA的面积是△POB面积的 倍．

∴﹣a2+ a+1= × a，

∴a= 或a=﹣ （舍）

∴P（ ，1）；

②如图1，

由（1）知，抛物线解析式为y=﹣x2+ x+1，

∴抛物线的对称轴为x= ，抛物线与x轴的另一交点为C（﹣ ，0），

∵点A与点C关于对称轴对称，

∴QP+QA的最小值就是PC=

（3）解：①当OB为平行四边形的边时，MN=OB=1，MN∥OB，

∵点N在直线AB上，

∴设M（m，﹣ m+1），

∴N（m，﹣m2+ m+1），

∴MN=|﹣m2+ m+1﹣（﹣ m+1）|=|m2﹣2m|=1，

Ⅰ、m2﹣2m=1，

解得，m=1± ，

∴M（1+ ， （1﹣ ））或M（1﹣ ， （1+ ））

Ⅱ、m2﹣2m=﹣1，

解得，m=1，

∴M（1， ）；

②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，

∴OH=BH，MH=NH，

∵B（0，1），O（0，0），

∴H（0， ），

设M（n，﹣ n+1），N（d，﹣d2+ d+1）

∴ ，

∴ 或 ，

∴M（﹣（1+ ）， （3+ ））或M（﹣（1﹣ ）， （3﹣ ））；

即：满足条件的点M的坐标（1+ ， （1﹣ ））或（1﹣ ，﹣ （1+ ））或（1， ）或M（﹣（1+ ）， （3+ ））或M（﹣（1﹣ ）， （3﹣ ））

【解析】（1） 先通过直线解析式求AB求出坐标，再代入抛物线解析式 ；（2）设出P的坐标，用P的横坐标a表示其 纵坐标，再表示△POA的面积与△POB面积，按照题意列出关于a的方程；（3）利用对称法求两线段和最小值，A的对称点就是抛物线与x轴的另一个交点C，连接PC与对称轴相交即可求出Q点；（4）“以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形”可找出一对固定点，对它进行分类讨论： OB为平行四边形的边；OB为对角线，OB与MN互相平分；按照几何关系构建关于M的横坐标为未知数的方程求解.