Question

【题目】在平面直角坐标系中，点B为第一象限内一点，点A为x轴正半轴上一点，分别连接OB，AB，△AOB为等边三角形，点B的横坐标为4．

（1）如图1，求线段OA的长；

（2）如图2，点M在线段OA上（点M不与点O、点A重合），点N在线段BA的延长线上，连接MB，MN，BM＝MN，设OM的长为t，BN的长为d，求d与t的关系式（不要求写出t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，点D为第四象限内一点，分别连接OD，MD，ND，△MND为等边三角形，线段MA的垂直平分线交OD的延长线于点E，交MA于点H，连接AE，交ND于点F，连接MF，若MF＝AM+AN，求点E的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）d＝8+t；（3）点E的横坐标为6．

【解析】

（1）过点B作BH⊥OA于点H，根据等边三角形的性质解答即可；

（2）过点M作MP⊥AB于点P，根据等边三角形的性质解答即可；

（3）过点N作NK∥OB，交x轴于点K，过点N作NR⊥x轴于点R，通过等边三角形的性质和全等三角形的性质的到AN=t，OM=t，AH=MH=，OH=OM+MH=，通过证明AM=AN，可得关于t的方程，求出t，即可得出答案。

解：（1）如图，过点B作BH⊥OA于点H，

∵△AOB为等边三角形，∴BO＝BA，

∵BH⊥OA，∴OH＝AH，

∵点B横坐标为4，∴OH＝4，

∴OA＝2HO＝8；

（2）如图，过点M作MP⊥AB于点P，∴∠MPA＝90°，

∵BM＝MN，∴BP＝PN，

∵△AOB为等边三角形，∴BA＝AO＝8，∠BAO＝60°，

∴∠AMP＝30°，∴AP＝AM，

∵AM＝8﹣t，∴AP＝（8﹣t）＝4﹣t，∴BP＝AB﹣AP＝4+t，

∴BN＝2BP＝8+t，∴d＝8+t

（3）过点N作NK∥OB，交x轴于点K，过点N作NR⊥x轴于点R，

∵△AOB为等边三角形，∴∠BOA＝60°＝∠OAB，

∵NK∥OB，∴∠NKA＝∠BOA＝60°，且∠OAB＝∠NAK＝60°，

∴∠NAK＝∠NKA＝60°，∴△AKN是等边三角形

∴AN＝NK＝AK，

∵△MND为等边三角形，

∴∠NMD＝∠MND＝60°，MN＝MD，

∴∠OMD+∠NMK＝∠NMK+∠MNK＝180°﹣60°＝120°，

∴∠OMD＝∠MNK，

∵AN＝8+t﹣8＝t，OM＝t，

∴OM＝AN＝NK＝AK＝t，且∠OMD＝∠MNK，MD＝MN，

∴△OMD≌△KNM （SAS），

∴OD＝MK，∠MOD＝∠MKN＝60°，

∵MK＝﹣t+t＝8，∴OD＝8，

∵EH垂直平分MA，∴AH＝MH＝AM＝（8﹣t）＝4﹣t，

∴OH＝OM+MH＝t+4﹣t＝4+t，

∵∠OEH＝90°﹣60°＝30°，∴OE＝2HO＝8+t，∴DE＝8+t﹣8＝t，∴DE＝AN，

∵∠DOA＝∠BAO，∴BN∥OE，∴∠NAF＝∠DEF，

又∵∠AFN＝∠EFD，AN＝DE，∴△AFN≌△EFD（AAS），∴FN＝FD，

又∵MN＝MD，∴MF⊥DN，

∵NR⊥AK，∴∠ARN＝90°，且∠NAK＝60°，∴∠ANR＝30°，

∴AR＝，

∵MR＝AM+AR＝AM+，MF＝AM+，∴MR＝MF，且 MF⊥DN，NR⊥AK，

∴∠MNR＝∠MND＝60°，∴∠NMA＝90°﹣60°＝30°，

∵∠BAO＝∠AMN+∠ANM，∴∠AMN＝∠ANM＝30°，∴AM＝AN，∴8﹣t＝t，∴t＝4，

∴OH＝4+×4＝6，∴点E的横坐标为6．