Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

(1) 求证：DE－BF = EF．

(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．

(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

【答案】（1）通过三角形全等进而求证（2）DE－BF=AF－AE=EF

【解析】

试题考查知识点：正方形；三角形的全等与相似；等量代换

思路通过利用正方形的性质，证明三角形的全等与相似，然后利用等量代换。

具体解答过程：

（1）、∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD=90°，AB=AD

∵DE⊥AG，BF⊥AG

∴∠AFB=∠DEA=90°

∵∠AFB+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°

∴∠AFB=∠ADE

∴Rt△AFB≌Rt△DEA

∴DE=AF，AE=BF

∴DE－BF=AF-AE=EF

（2）、当点G为BC边中点时，如下图所示。

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，AB:BG=2:1

∵∠AFB=∠ADE

∴Rt△AFB≌Rt△DEA∽Rt△ABG∽Rt△BFG

∴AE=BF，AF=DE=2AE，BF=2FG，AE=EF

∴EF=2FG

（3）、如下图所示。

∵DE⊥AG，BF⊥AG

∴∠AFB=∠DEA=90°

∵∠BAD=90°，∠EAF是平角，

∴∠EAD+∠FAB=90°

∵∠EAD+∠EDA=90°

∴∠FAB=∠EDA

∴Rt△AFB≌Rt△DEA

∴AE=BF，DE=AF

∴EF=EA+AF即EF=DE+BF