Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于C点，tan∠ABC=2．
（1）求抛物线的表达式及其顶点D的坐标；
（2）过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点．求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线的表达式知，点C（0，8），即 OC=8；

Rt△OBC中，OB=OCtan∠ABC=8× =4，

则点B（4，0）．

将A、B的坐标代入抛物线的表达式中，

得： ，

解得： ，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+8，

∵y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，

∴抛物线的顶点坐标为D（1，9）

（2）解：设直线CD的表达式为y=kx+8，

∵点D（1，9），

∴直线CD表达式为y=x+8．

∵过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，

可得：E（﹣2，6），F（4，12）．

设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），

则抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+9+m；

当抛物线过E（﹣2，6）时，m=6，

当抛物线过F（4，12）时，m=12，

∵抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点，

∴m的取值范围是6＜m≤12

【解析】（1）由OC=8、tan∠ABC=2得点B坐标，将点A、B坐标代入求解可得；（2）先求出直线CD解析式和点E、F坐标，设平移后解析式为y=﹣（x﹣1）2+9+m，结合图象根据抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点，求得临界时m的值，从而得出答案，
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数图象的平移的相关知识，掌握平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减，以及对抛物线与坐标轴的交点的理解，了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．