Question

【题目】如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．

（1）求证：BD是该外接圆的直径；

（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；

（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）DM2＝BM2＋2MA2,理由详见解析.

【解析】

试题分析：(1)易证△ABD为等腰直角三角形，即可判定BD是该外接圆的直径；（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E，再证△ACE为等腰直角三角形，可得AC＝AE，再由勾股定理即可得；利用SAS判定△ABE≌△ADC，可得BE＝DC，所以CE＝BE＋B，所以C＝DC＋BC＝；（3）延长MB交圆于点E，连结AE、DE，因∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°，由勾股定理可得，再证∠BED=90°，在RT△MED中，有，所以.

试题解析：（1）∵弧AB＝弧AB， ∴∠ADB＝∠ACB

又∵∠ACB＝∠ABD＝45° ∴∠ABD＝∠ADB＝45°

∴∠BAD＝90° ∴△ABD为等腰直角三角形

∴BD是该外接圆的直径

（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E

∵∠ACB＝45°，CA⊥AE

∴△ACE为等腰直角三角形 ∴AC＝AE

由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2 ∴

由（1）可知△ABD 为等腰直角三角形

∴AB＝AD ∠BAD＝90° 又∵∠EAC＝90°

∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC ∴∠EAB＝∠DAC

∴在△ABE和△ADC中

∴△ABE≌△ADC（SAS）

∴BE＝DC

∴CE＝BE＋BC＝DC＋BC＝

（3）DM2＝BM2＋2MA2

延长MB交圆于点E，连结AE、DE

∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°

∴在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°

∴

又∵AC=MA=AE

∴=

又∵=

∴－＋=－＋

即=

∴DE=BC=MB

∵BD为直径

∴∠BED=90°

在RT△MED中，有

∴