Question

【题目】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转（0°＜＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.

①求证： BD⊥CF. ② 当AB＝2，AD＝3，时，求线段BD的长.

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、①、证明过程见解析；②、

【解析】

试题分析：(1)、根据旋转图形的性质得出AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ，AF＝AD，从而得出三角形全等；(2)、①、根据全等得出∠HFN＝∠ADN，结合已知得出∠HFN+∠HNF＝90°，从而得出结论；②、连接DF，延长AB，与DF交于点M，根据正方形的性质得出AM=DM，然后根据Rt△MAD的勾股定理得出答案.

试题解析：(l)、BD＝CF成立．

由旋转得:AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD, ∴△ABD≌△ACF, ∴BD＝CF.

(2) ①、由(1)得，△ABD≌△ACF， ∴∠HFN＝∠ADN， ∵∠HNF＝∠AND,∠AND+∠AND=90°

∴∠HFN+∠HNF＝90° ∴∠NHF＝90°, ∴HD⊥HF,即BD⊥CF.

②、如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M. ∵四边形ADEF是正方形 ∴∠MDA＝45°∵∠MAD＝45°

∴∠MAD＝∠MDA,∠AMD＝90°，∴AM=DM ∵AD=3 在△MAD中， ∴AM＝DM＝3

.∴MB＝AM-AB=3－2＝1 在△BMD中，

∴