Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF,BF，求∠ABF的度数；
（3）如果BE=10，sinA= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线

（2）解：连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等边三角形，

∴∠AOF=60°

∴∠ABF= ∠AOF=30°

（3）解：连接OF，AF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF=OA，

过点O作OG⊥AB于点G，得到AG=BG，

在Rt△AOG中，sinA= = ，

设DE=5x，则AE=13x，AD=12x，AO=24x，

∵BE=10，∴AB=10+13x．

则AG= AB=5+ x，

又∵直角△AOG中，sin∠BAO= ，则 = ，

则 =

解得x= ，

∴AO=24x= ．

【解析】（1）根据等边对等角，得到∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，又CD⊥OA，由角的和差得到OB⊥BC，根据切线的判定方法得出BC是⊙O的切线；（2）根据垂直平分线定理，得到AF=OF，又OA=OF，得到△OAF是等边三角形，∠AOF=60°，所以∠ABF= ∠AOF=30°；（3）由DA=DO，CD⊥OA，得到AF=OF=OA，过点O作OG⊥AB于点G，得到AG=BG，在Rt△AOG中，sinA= ，由BE=10，得到AG= AB，又直角△AOG中，sin∠BAO= ，则 = ，求出AO的值．