Question

【题目】已知：如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠1＝60°，∠7＝20°

（1）试说明AC⊥BD

（2）求∠3及∠5的度数

（3）求四边形ABCD各内角的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）30°，70°；（3）∠DAB =60°，∠ABC =80°，∠DCB =140°，∠ADC =80°

【解析】

（1）根据三角形内角和定理即可证得∠1＋∠3＝90°，则在△AOD中，利用内角和定理即可求得∠AOD＝90°，即可证得；

（2）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；

（3）根据根据（2）即可求得∠DAB，∠ADC，∠DCB的度数，然后根据四边形的内角和定理即可求得∠ABC的度数．

（1）∵∠1＋∠2＋∠DAB＝180°，

即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠1＋∠3＝90°，

∵∠1＋∠3＋∠AOD＝90°，

∴∠AOD＝90°，

∴AC⊥BD；

（2）∵∠1＋∠3＝90°，

∴∠3＝90°∠1＝90°60°＝30°．

∵AC⊥BD，

∴∠COD＝90°，

∴∠5＋∠7＝90°，

∴∠5＝90°∠7＝70°；

（3）∠DAB＝2∠3＝60°，

∠ADC＝∠1＋∠7＝60°＋20°＝80°，

∠DCB＝∠5＋∠6＝70°＋70°＝140°，

则∠ABC＝360°∠DAB∠ADC∠DCB＝80°．