Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．

（1）求证：AC2=ABAD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=5，AB=7，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB．

又∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB．

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ABAD．

（2）证明：∵E为AB的中点，∠ACB=90°，

∴CE= AB=AE．

∴∠EAC=∠ECA．

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA．

∴AD∥CE

（3）解：∵CE∥AD，

∴△AFD∽△CFE，

∴AD：CE=AF：CF，

∵CE= AB，

∴CE= ×7= ，

∵AD=5，

∴ = ，

∴ =

【解析】（1）首先证明△ADC∽△ACB，然后依据相似三角形的对应边成比例得到AC2=ABAD；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可证得CE=,AB=AE，然后依据等边对等角的性质可得到∠EAC=∠ECA．通过等量代换可得到∠DAC=∠ECA，故此可证明CE∥AD；
（3）首先证明△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例的性质可求得的值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．