Question

【题目】如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，-6，∠DCE=90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）

（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=_______；

（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α．

①当t=1时，α=_______

②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；

（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1=β，若α与β满足|α-β|=40°，请直接写出t的值为

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①30°；②∠BCE=2α，理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据角平分线的定义计算即可；

（2）①根据∠FCD=∠ACF-∠ACD，求出∠ACF，∠ACD即可；

②猜想：∠BCE=2α．根据∠BCE=∠AOB-∠ECD-∠ACD计算即可；

（3）求出α，β（用t表示），构建方程即可解决问题；

解：（1）如图1中，

∵∠EOD=90°，OF平分∠EOD，

∴∠FOD=∠EOD=45°，

故答案为：45°；

（2）①如下图，

当t=1时，∵∠DCA=30°，∠ECD=90°，

∴∠ECA=120°，

∵CF平分∠ACE，

∴∠FCA=∠ECA=60°

∴α=∠FCD=60°-30°=30°

故答案为：30°．

②如下图，猜想：∠BCE=2α．

理由：∵∠DCE=90°，∠DCF=α，

∴∠ECF=90°-α，

∵CF平分∠ACE，

∴∠ACF=∠ECF=90°-α，

∵点A，O，B共线

∴∠AOB=180°

∴∠BCE=∠AOB-∠ECD-∠ACD=180°-90°-（90°-2α）=2α．

（3）如图3中，

由题意：α=∠FCA-∠DCA=（90°+30t）-30t=45°-15t，

β=∠AC1D1+∠AC1F1=30t+（90°-30t）=45°+15t，

∵β-α=40°，

∴30t=40°，

解得：t=．

故答案为：．