Question

【题目】如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y= x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．

（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，

∴y= ×（﹣2）2=1，A点的坐标为（﹣2，1），

设直线的函数关系式为y=kx+b，

将（0，4），（﹣2，1）代入得 ，

解得 ，

∴直线y= x+4，

∵直线与抛物线相交，

∴ x+4= x2，

解得：x=﹣2或x=8，

当x=8时，y=16，

∴点B的坐标为（8，16）

（2）如图1，连接AC，BC，

∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．

设点C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，

BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，

①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，

解得：m=﹣ ；

②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320，

解得：m=0或m=6；

③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325，

解得：m=32；

∴点C的坐标为（﹣ ，0），（0，0），（6，0），（32，0）

（3）解：设M（a， a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，

在Rt△MQN中，由勾股定理得MN= = a2+1，

又∵点P与点M纵坐标相同，

∴ +4= a2，

∴x= ，

∴点P的横坐标为 ，

∴MP=a﹣ ，

∴MN+3PM= +1+3（a﹣ ）=﹣ a2+3a+9，

∴当a=﹣ =6，

又∵2≤6≤8，

∴取到最大值18，

∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．

【解析】（1）由抛物线的解析式可求得点A的纵坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，将直线和抛物线的解析式联立可求得交点的坐标；
（2）过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；
（3）设M（a，a2），MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中依据勾股定理可求得MN的长（用含a的式子表示），然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM关于a的函数关系是，最后，依据二次函数的性质可得到MN+3PM的长度的最大值.