Question

【题目】已知：如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，且BD=BE，连接DE．

（1）求证：DE∥AC；

（2）将图①中的△BDE绕点B顺时针旋转，使得点A、D、E在同一条直线上，如图②，求∠AEC的度数；

（3）在（2）的条件下，如图③，连接CD，过点D作DM⊥BE于点M，在线段BM上取点N，使得∠DNE+∠DCE=180°．求证：EN﹣EC=2MN．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）证明见解析

【解析】

（1）欲证明DE∥AC，只要证明∠DEB=∠C即可；

（2）通过“边角边”证明△ABD≌△CBE，然后推出∠CEB=∠ADB=120°，即可解决问题；

（3）通过“角角边”证明△BDN≌△EDC，得到BN=CE，由DB=DE，DM⊥BE，推出BM=EM，即BN+MN=EN﹣MN，推出CE+MN=EN﹣MN，即EN﹣EC=2MN.

解：（1）证明：如图①中，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

又∵BD=BE，

∴△BDE是等边三角形，

∴∠BED=60°，

∴∠C=∠BED，

∴DE∥AC；

（2）如图2中，

∵△ABC、△BDE都是等边三角形，

∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=∠BDE=∠BED=60°，

∴∠ABD=∠CBE，

在△ABD和△CBE中，

，

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴∠CEB=∠ADB，

∵∠ADB=180°﹣∠BDE=180°﹣60°=120°，

∴∠CEB=120°，

∴∠AEC=∠CEB﹣∠BED=120°﹣60°=60°；

（3）证明：如图3中，

∵∠DNE+∠DCE=180°，∠DNE+∠DNB=180°，

∴∠DCE=∠DNB，

由（1）知△BDE是等边三角形，

∴BD=ED，∠DBE=60°，

由（2）知∠AEC=60°，

∴∠DBE=∠AEC，

在△BDN和△EDC中，

，

∴△BDN≌△EDC（AAS），

∴BN=CE，

∵DB=DE，DM⊥BE，

∴BM=EM，即BN+MN=EN﹣MN，

∴CE+MN=EN﹣MN，

∴EN﹣EC=2MN．