Question

【题目】已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y=kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．

（1）直线CD的函数表达式为　 　；（直接写出结果）

（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．

①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标；

②将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上,请直接写出点Q的坐标: .

Answer 1

【答案】（1）y=3x﹣6；（2）①（，﹣2）或（，2）；②存在，点Q的坐标为（3，3）或（，）．

【解析】

（1）求出C、D两点坐标即可解决问题；

（2）①分两种情形S△BEQ=S△BDE或S△BEQ=S△BDE分别构建方程即可；

②分两种情形：当点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中；当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中；分别求解即可.

解：（1）由题意：D（4，6），C（2，0），

设直线CD的解析式为y=kx+b，

则有，

解得，

∴直线CD的解析式为y=3x﹣6，

故答案为：y=3x﹣6；

（2）①∵直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，

∴S△BEQ=S△BDE或S△BEQ=S△BDE，

在y=x+3中，当x=0时，y=3；当x=4时，y=6，

∴B（0，3），D（4，6）．

在y=3x﹣6中，当x=0时，y=﹣6，

∴E（0，﹣6），

∴BE=9，

如图1中，过点D作DH⊥y轴于点H，则DH=4，

∴S△BDE=BEDH=×9×4=18，

∴S△BEQ=×18=6或S△BEQ=×18=12，

设Q（t，3t﹣6），由题意知t＞0，

过点Q作QM⊥y轴于点M，则QM=t，

∴×9×t=6或×9×t=12，

解得t=或，

当t=时，3t﹣6=﹣2，

当t=时3t﹣6=2，

∴Q的坐标为（，﹣2）或（，2）；

②当点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中，

由（2）知B（0，3），D（4，6），

∴BH=BO=3，

由翻折得BD=BD1，

在△Rt△DHB和Rt△D1OB中，

，

∴Rt△DHB≌Rt△D1OB（HL），

∴∠DBH=∠D1BO，

由翻折得∠DBQ=∠D1BQ，

∴∠HBQ=∠OBQ=90°，

∴BQ∥x轴，

∴点Q的纵坐标为3，

在y=3x﹣6中，当y=3时，x=3，

∴Q（3，3）；

当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中，

过点Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分别为点M、N，

由翻折得∠DBQ=∠D2BQ，

∴QM=QN，

由（2）知S△BDE=18，即S△BQD+S△BQE=18，

∴BDQM+BEQN=18，

由两点之间的距离公式，得BD==5，

∴×5QN+×9QN=18，

解得QN=，

∴点Q的横坐标为，

在y=3x﹣6中，当x=时，y=，

∴Q（，）．

综合知，点Q的坐标为（3，3）或（，）．