【题目】把长为20，宽为a的长方形纸片(10＜a＜20)，如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形(称为第一次操作)；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形(称为第二次操作)；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的长方形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为________.

参考答案：

【答案】12或15

【解析】

根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当10＜a＜20时，矩形的长为20，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为20-a，a．由20-a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为20-a，剩下的矩形相邻的两边分别为20-a，a-（20-a）=2a-20．由于（20-a）-（2a-20）=40-3a，所以（20-a）与（2a-20）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①20-a＞2a-20；②20-a＜2a-20．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值．

由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20-a，所以第二次操作时正方形的边长为20-a，

第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a，2a-20．此时，分两种情况：

①如果20-a＞2a-20，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a-20．

∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，

∴矩形的宽等于20-a，

即2a-20=（20-a）-（2a-20），

解得a=12；

②如果20-a＜2a-20，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为20-a．

则20-a=（2a-20）-（20-a），

解得a=15．

故答案为：12或15.

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