Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），

把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣ ，

则抛物线解析式为y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣ x+2

（2）解：过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，

设直线AC解析式为y=kx+t，则有 ，

解得： ，

∴直线AC解析式为y= x+2，

设点D的横坐标为m，则G横坐标也为m，

∴DH=﹣ m2﹣ m+2，GH= m+2，

∴DG=﹣ m2﹣ m+2﹣ m﹣2=﹣ m2﹣m，

∴S△ADC=S△ADG+S△CDG= DGAH+ DGOH= DGAO=2DG=﹣ m2﹣2m=﹣ （m2+4m）=﹣ [（m+2）2﹣4]=﹣ （m+2）2+2，

当m=﹣2时，S△ADC取得最大值2，此时yD=﹣ ×（﹣2）2﹣ ×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）．

【解析】（1）根据A与B坐标设出抛物线解析式，将C坐标代入即可求出；（2）过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，利用待定系数法求出直线AC解析式，设D横坐标为m，则有G横坐标也为m，表示出DH与GH，由DH﹣GH表示出DG，三角形ADC面积=三角形ADG面积+三角形DGC面积，表示出面积与m的关系式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时m的值，即此时D的坐标即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a，以及对抛物线与坐标轴的交点的理解，了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．