Question

【题目】如图，抛物线y＝－x2＋x－2与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C.

（1）求证：△AOC∽△COB；

（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，PQ＝AC.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）经过2.5秒或 1.5秒时，PQ＝AC.

【解析】试题分析：（1）可先根据抛物线的解析式求出A，B，C的坐标，然后看OA，OC，OB是否对应成比例即可；
（2）根据抛物线的对称性可知：AC=BD，四边形ABDC为等腰梯形，那么本题可分两种情况进行求解：
①当四边形APQC是等腰梯形，即四边形PQDB是平行四边形时，AC=PQ，那么QD=PB，可据此来求t的值．
②当四边形ACQP是平行四边形时，AC=PQ，那么此时AP=CQ，可据此求出t的值．

试题解析：（1）解：（1）当y=0时，即=0，得x1=1，x2=4 .当x=0时，y=－2.

∴ A（1，0），B（4，0），C（0，－2）.

∴OA=1，OB=4，OC=2 ，

∴， .

又∵∠AOC=∠BOC ∴△AOC∽△COB.

（2）设经过t秒后，PQ=AC．由题意得：AP=DQ= t

∵A（1，0）、B（4，0） ∴AB=3 ， ∴BP=3－t ‘

∵CD∥x轴，点C（0，－2） ∴点D的纵坐标为－2.

∵点D在抛物线y=上

∴D（5，－2） ∴CD=5 ∴CQ=5－t

① 当AP=CQ，即四边形APQC是平行四边形时， PQ=AC．

t=5－t ∴t=2.5.

② 连结BD，当DQ=BP，即四边形PBDQ是平行四边形时，

PQ=BD=AC.

t=3－t ∴t=1.5.

所以，经过2.5秒或 1.5秒时，PQ=AC.