Question

【题目】△中， ．取边的中点，作⊥于点，取的中点，连接， 交于点．

（1）如图1，如果，求证： ⊥并求的值；

（2）如图2，如果，求证： ⊥并用含的式子表示.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：连接AD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，∠BAD=∠BAC，AD⊥BC，然后根据同角的余角相等可得∠ADE=∠C．易证△ADB∽△DEC，可得ADCE=BDDE．由此可得ADCE=BC2DF=BCDF，即，由此可证到△AFD∽△BEC，则有，在Rt△ADB中根据三角函数的定义可得tan∠ABD=tan（90°-∠BAC）=，从而可得=tan（90°-∠BAC）．由△AFD∽△BEC可得∠DAF=∠CBE，即可得到∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，即可得到∠AHB=90°．利用以上结论即可解决题中的两个问题．

试题解析：如图1，连接AD，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC=∠BAC，AD⊥BC，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠C．
又∵∠ADB=∠DEC=90°，
∴△ADB∽△DEC，
∴，
即ADCE=BDDE．
∵点D是BC的中点，点F是DE的中点，
∴BD=BC，DE=2DF，
∴ADCE═BC2DF=BCDF，
∴，
又∵∠ADE=∠C，
∴△AFD∽△BEC，
∴，
在Rt△ADB中，
∵∠ABD=90°-∠BAD=90°-∠BAC，BD=BC，
∴tan∠ABD=tan（90°-∠BAC）=，
∴=tan（90°-∠BAC）．
∵△AFD∽△BEC，
∴∠DAF=∠CBE．
∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，
∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，
∴∠AHO=180°-90°=90°，即∠AHB=90°，
（1）如图1，

根据以上结论可得：
∠AHB=90°，=tan（90°-×90°）=；
∴AF⊥BE， =；
（2）如图2，

根据以上结论可得：∠AHB=90°，=tan（90°-α）；
∴AF⊥BE， =tan（90°-α）．