Question

【题目】如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．

（1）求∠D的度数；
（2）求证：AC2=ADCE．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OA，如图所示：

∵圆周角∠ABC与圆心角∠AOC所对的弧都为 ，

∴∠AOC=2∠ABC，又∠ABC=15°，

∴∠AOC=30°，

又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA= =75°，

又∠BAC=45°，∠ABC=15°，

∴∠ACB=120°，

∴∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣75°=45°，

又OC∥AD，

∴∠D=∠OCB=45°

（2）证明：∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，

∴∠AEC=60°，

又∠ACB=120°∴∠ACD=60°，

∴∠AEC=∠ACD=60°，

∵∠D=45°，∠ACD=60°，

∴∠CAD=75°，又∠OCA=75°，

∴∠CAD=∠OCA=75°，

∴△ACE∽△DAC，

∴ = ，即AC2=ADCE

【解析】（1）连接OA，由圆周角∠ABC与圆心角∠AOC所对的弧为同一条弧，根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由∠ABC的度数求出∠AOC的度数，再由OA=OC，根据等边对等角，由顶角∠AOC的度数，利用三角形的内角和定理求出底角∠ACO的度数，再由∠BAC及∠ABC的度数，求出∠ACB的度数，由∠ACB﹣∠ACO求出∠BCE的度数，由OC与AD平行，根据两直线平行同位角相等可得∠D=∠BCE，可得出∠D的度数；（2）由∠ACB的度数，利用邻补角定义求出∠ACD的度数，再由∠AEC为三角形BEC的外角，利用外角性质得到∠AEC=∠ABC+∠BCE，可得出∠AEC的度数，进而得到∠AEC=∠ACD，在三角形ACD中，由∠ACD及∠D的度数，求出∠CAD的度数，可得∠CAD=∠ACE，利用两对对应角相等的三角形相似可得三角形AEC与三角形DCA相似，根据相似三角形的对应边成比例可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．