Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝AD，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH＝DF；②∠AEF＝45°；③S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH；④BH平分∠ABE．其中不正确的结论有（　　）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】A

【解析】

先判断出∠DAE=∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF=45°，得出②正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出③错误，根据三角形的内角和和角平分线的定义得到④正确.

解：∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，

∵BE＝BC，

∴AB＝BE，

∵BG⊥AE，

∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，

在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，

∵∠AGH＝90°，

∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，

在△ADE和△CDE中，，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，

∴∠ABH＝∠DCF，

在△ABH和△DCF中，，

∴△ABH≌△DCF（ASA），

∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，

∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，

∴67.5°＝22.5°+∠AEF，

∴∠AEF＝45°，故①②正确；

如图，连接HE，

∵BH是AE垂直平分线，

∴AG＝EG，

∴S△AGH＝S△HEG，

∵AH＝HE，

∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，

∴∠DHE＝45°，

∵∠ADE＝45°，

∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，

∴EH＝ED，

∴△DEH是等腰直角三角形，

∵EF不垂直DH，

∴FH≠FD，

∴S△EFH≠S△EFD，

∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故③错误，

∵∠AHG＝67.5°，

∴∠ABH＝22.5°，

∵∠ABD＝45°，

∴∠ABH

∴BH平分∠ABE，故④正确；

故选：A．