Question

【题目】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单的多面体模型，解答下列问题：

(1)根据上面的多面体模型，完成表格：

多面体	顶点数(V)	面数(F)	棱数(E)
四面体	4	4
正方体	8		12
正八面体	6	8	12
正十二面体	20	12	30

可以发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______________；

(2)若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是______；

(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x，八边形的个数为y，求x＋y的值．

Answer 1

【答案】(1)6,6,V＋F－E＝2 ;(2)20;(3)x＋y＝F＝14

【解析】

（1）从表格观察发现：顶点数+面数-棱数=2；（2）代入（1）中的式子即可得到面数；（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．

解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F-E=2；

（2）由题意得：F-8+F-30=2，解得F=20；

（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；

∴共有24×3÷2=36条棱，

那么24+F-36=2，解得F=14，

∴x+y=14．

故答案为：6，6；E=V+F-2；20；14．