Question

【题目】已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．

(1)如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；

(2)若点P在线段AB上．

①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；

②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）△ACE为直角三角形，理由见解析；（3）∠AEC=45°．

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理易证△APE≌△CFE，由全等三角形的性质即可得结论；（2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质即可判定△ACE为直角三角形；②根据PE∥CF，得到，代入a、b的值计算求出a：b，根据角平分线的判定定理得到∠HCG=∠BCG，证明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度数．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AC

∵四边形BPEF为正方形

∴∠P=∠F=90°，PE=EF=FB=BP

∵AP=AB+BP,CF=BC+BF

∴CF=AP

在△APE和△CFE中：EP="EF," ∠P="∠F=90°," AP= CF

∴△APE≌△CFE

∴EA=EC

（2）①∵P为AB的中点，

∴PA=PB，又PB=PE，

∴PA=PE，

∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，

∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，

∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a

∵PE∥CF，

∴，即，

解得，a=b；

作GH⊥AC于H，

∵∠CAB=45°，

∴HG=AG=×（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，

∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，

∴∠HCG=∠BCG，

∵PE∥CF，

∴∠PEG=∠BCG，

∴∠AEC=∠ACB=45°．

∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．