Question

【题目】如图，已知点A（﹣m，n），B（0，m），且m、n满足 +（n﹣5）2=0，点C在y轴上，将△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D处．
（1）写出D点坐标并求A、D两点间的距离；
（2）若EF平分∠AED，若∠ACF﹣∠AEF=20°，求∠EFB的度数；
（3）过点C作QH平行于AB交x轴于点H，点Q在HC的延长线上，AB交x轴于点R，CP、RP分别平分∠BCQ和∠ARX，当点C在y轴上运动时，∠CPR的度数是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ +（n﹣5）2=0，

∴m+5=0，n﹣5=0，

∴m=﹣5，n=5，

∴A点坐标为（5，5），

∵△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D处，

∴点D与点A关于y轴对称，

∴D点坐标为（﹣5，5）；

∴AD=5﹣（﹣5）=10

（2）解：如图2，∵△ABC沿x轴折叠，使点A落在点D处，

∴∠DCF=∠ACF，

∵∠DCF=∠EFB+∠DEF，

∴∠EFB=∠ACF﹣∠DEF，

∵EF平分∠AED，

∴∠DEF=∠AEF，

∴∠EFB=∠ACF﹣∠AEF=20°

（3）解：∠CPH=45°．理由如下：

如图3，∵QH∥AB，

∴∠QCP=∠1，∠ARX=∠3，

∵CP、RP分别平分∠BCQ和∠ARX，

∴∠QCP= ∠BCQ，∠2= ∠ARX，

∴∠1= ∠BCQ，∠2= ∠3，

∵∠BCQ=90°+∠3，

∴2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，

∵∠1=∠CPR+∠2，

∴∠CPR=45°

【解析】（1）先由非负数的性质求出m，n的值，得到A点坐标，再根据折叠的性质得点D与点A关于y轴对称，再根据关于y轴对称的点的坐标特征得到D点坐标，然后计算点A与点D的横坐标之差即可得到A、D两点间的距离；（2）根据折叠的性质得∠DCF=∠ACF，再利用三角形外角性质得∠DCF=∠EFB+∠DEF，则∠EFB=∠ACF﹣∠DEF，又∠DEF=∠AEF，所以∠EFB=∠ACF﹣∠AEF=20°；（3）根据平行线的性质由QH∥AB得到∠QCP=∠1，∠ARX=∠3，再根据角平分线的定义得∠QCP= ∠BCQ，∠2= ∠ARX，则∠1= ∠BCQ，∠2= ∠3，接着利用三角形外角性质得∠BCQ=90°+∠3，所以2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，然根据∠1=∠CPR+∠2即可得到∠CPR=45°．
【考点精析】通过灵活运用三角形的内角和外角和三角形的外角，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可以解答此题．