Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，则下列结论中有( )个是正确的。

①∠DAF=45° ②△ABE≌△ACD ③AD平分∠EDF ④

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根据旋转的性质可得出∠BAE=∠CAF，由∠BAC=90°、∠DAE=45°可得出∠CAD+∠CAF=45°，即可判断①；②根据旋转的性质可得出△BAE≌△CAF，不能推出△BAE≌△CAD，即可判断②；③根据∠DAE=∠DAF=45°，根据角平分线定义即可判断③；④根据全等三角形的判定求出△AED≌△AFD，推出DE=DF，求出∠DCF=90°，根据勾股定理推出即可．

∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，

①由旋转，可知：∠CAF=∠BAE，

∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，

∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正确；

②由旋转，可知：△ABE≌△ACF，不能推出△ABE≌△ACD，故②错误；

③∵∠EAD=∠DAF=45°，

∴AD平分∠EAF，故③正确；

④由旋转可知：AE=AF，∠ACF=∠B=45°，

∵∠ACB=45°，

∴∠DCF=90°，

由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，

即BE2+DC2=DF2，

在△AED和△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（SAS），

∴DE=DF，

∴BE2+DC2=DE2，故④正确．

故选B.