Question

【题目】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四边形ADEF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBE，

∵DE∥AB，

∴∠ABD=∠BDE，

∴∠DBE=∠BDE，

∴BE=DE；

∵BE=AF，

∴AF=DE；

∴四边形ADEF是平行四边形

（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，

∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠EBD=30°，

∴DG= BD= ×4=2，

∵BE=DE，

∴BH=DH=2，

∴BE= = ，

∴DE= ，

∴四边形ADEF的面积为：DEDG= ．

【解析】（1）根据BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF，可得DE=AF，即可证得所求结论；
（2）先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，由∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，可求得DG的长，继而求得DE的长，则可求得四边形ADEF的面积．
【考点精析】掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．