Question

【题目】如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB= BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②SABCD=ABAC；③OB=AB；④OE= BC，成立的个数有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=60°

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=BE，

∵AB= BC，

∴AE= BC，

∴∠BAC=90°，

∴∠CAD=30°，故①正确；

∵AC⊥AB，

∴SABCD=ABAC，故②正确，

∵AB= BC，OB= BD，

∵BD＞BC，

∴AB≠OB，故③错误；

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE= AB，

∴OE= BC，故④正确．

故答案为：C．
首先根据平行四边形的性质可得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，然后结合条件AE平分∠BAD，可得到∠BAE=∠EAD=60°，故此可证明△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；因为AC⊥AB，所以依据平行四边形的面积公式可得到SABCD=ABAC，故②正确，然后由AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，可证明AB≠OB，故③错误；接下来，依据三角形的中位线的性质定理证明OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．