Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B和点C分别是x轴的正半轴和y轴的正半轴上的两点，且OB：BC=1：，直线BC的解析式为y=﹣kx+6k（k≠0）．

（1）如图1，求点C的坐标；

（2）如图2，点D为OB中点，点E为OC中点，点F在y轴的负半轴上，点A是射线FD上的第一象限的点，连接AE、ED，若FD=DA，且S△AED=，求点A的坐标；

（3）如图3，在（2）的条件下，点P在线段OB上，点Q在线段OC的延长线上，CQ=BP，连接PQ与BC交于点M，连接AM并延长AM到点N，连接QN、AP、AB和NP，若∠QPA﹣∠NQO=∠NQP﹣∠PAB，NP=2，求直线PQ的解析式．

Answer 1

【答案】（1）C（0，6）；（2）A（6，6）；（3）直线PQ的解析式y=﹣2x+8．

【解析】

（1）先求出OB=6，进而求出BC=6，最后用勾股定理求出OC=6，即可得出结论；

（2）先判断出△FDO≌△ADB，进而求出点A的横坐标为6，进而利用面积差求出EF=9即可得出结论；

（3）先判断出四边形ACOB是平行四边形，进而判断出平行四边形ACOB是正方形，再判断出PT=PB=CQ，进而得出△PTM≌△QCM，再判断出∠NQP=∠APQ，进而判断出△NMQ≌△AMP，即可判断出四边形QNPA是平行四边形，再判断出平行四边形QNPA是正方形，进而求出P（4，0），Q（0，8），即可得出结论．

解：（1）令y=0，则﹣kx+6k=0，

∵k≠0，

∴x=6，

∴B（6，0），

∴OB=6，

∵OB：BC=1：，

∴BC=6，

在Rt△BOC中，OB2+OC2=BC2，

∴OC=6，

∴C（0，6）；

（2）如图2，连接AB，过点A作AH⊥y轴于H，

∵FD=DA，OD=BD，∠ODF=∠BDA，

∴△FDO≌△ADB，

∴∠FOD=∠ABD=90°，OF=AB，

∴AB⊥x轴，

∴点A的横坐标为6，

∴S△AED=S△AEF﹣S△DEF=AH﹣EFOD=EF（AH﹣OD）=EFBD，

∵S△AED=，BD=3，

∴EF=9，

∵EO=3，

∴OF=6，

∴BA=6，

∴A（6，6）；

（3）如图3，过点P作PT∥y轴，交BC于T，连接AQ，AC，

∴∠MPT=∠MQC，

∵AB∥OC，AB=OC，

∴四边形ACOB是平行四边形，

∵∠COB=90°，OB=OC，

∴平行四边形ACOB是正方形，

∴∠ACO=90°，

∴∠ACQ=90°，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

∴∠PBT=∠PTB=45°，

∴PT=PB=CQ，

∵∠PMT=∠QMC，

∴△PTM≌△QCM，

∴PM=QM，

∵BA∥y轴，PT∥y轴，

∴AB∥PT，

∴∠BAP=∠TPA，

∵∠QPA﹣∠NQO=∠NQP﹣∠PAB，

∴∠QPT+∠TPA﹣∠NQO=∠NQO+∠OQP﹣∠PAB，

∴∠TPA=∠NQO，

∴∠NQP=∠APQ，

∵∠NMQ=∠AMP，

∴△NMQ≌△AMP，

∴NM=AM，

∵MQ=MP，

∴四边形QNPA是平行四边形，

∵AC=AB，∠QCA=∠PBA=90°，CQ=BP，

∴△QCA≌△PBA，

∴AQ=AP，∠QAC=∠PAB，

∴∠QAP=∠CAB=90°，

∴QNPA是正方形，

∴NP=AP=2，

在Rt△ABP中，AP2=AB2+PB2，

∴PB=2，

∴OP=OB﹣PB=4，OQ=OC+QC=8，

∴P（4，0），Q（0，8），

∴直线PQ的解析式y=﹣2x+8．